La continuité : la continuité en un point

Rappel

Déterminez l’équation  de l’A.O de la courbe représentative ci-dessous :

$y = \frac{3x^2+3}{x^2} = ?$

Rappel

Motivation

Que faut-il faire si votre prédécesseur est parti pour un poste que tu as remplacé ? 

Motivation

Il faut que le nouveau entrant puisse continuer là où il s’est arrêté.

De quelle continuité s’agit-elle ?

Il s’agit de la continuité en point.

Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui ?

Annonce du sujet

Nous allons étudier aujourd'hui la continuité : la continuité en un point. 

Quand-est-ce qu'une fonction est continue en point x = a ?

LA CONTINUITE :

a. LA CONTINUITE EN UN POINT    

a. Définition : une fonction f est continue en un point x = a si et seulement si :

1° f est définie en a c’est-à-dire f (x) ∈ R 

$2° lim_{x →a} f (x) = f (a)$

 Quand – t – est – ce que la fonction f est discontinue ?

Remarque :

-Si l’une de deux conditions ci-dessus n’est pas vérifiée alors la fonction est dite discontinue en x = a

- La condition (2) signifie que.

Qu’exprime la condition (2) ?

b. Exemple : Etudier la continuité de la fonction $f (x) = \frac{1}{x-3}\\ en x = 3,$

x – 3 = 0               dy : ] - ∞,  3 [ ∪ ] 3, + ∞,  [

 x = 3

$f(3) = \frac{1}{3-3} = \frac{1}{0} = ∞$

La fonction f n’est pas continue au point x = 3

Quand – t – est – ce que lab fonction f est continue au point x = a ?

Une fonction f est continue en un point x = a ssi

1° f est définie en a c’est-à-dire f (x) ∈ R 

$2° lim_{x →a} f (x) = f (a)$

 Quand-est-ce que fonction f est dite discontinue ?

Une  fonction est dite discontinue si l’une des conditions n’est pas vérifiée.

Étudiez la continuité de chacune des fonctions ci-après :

a. f (x) = 3 + |x - 4| en x = 4

b. f (x) = x² + x au point x = 1

1. df = R

2. f (x) = 3 + |x - 4| = 3 ∈ R

3 + |x - 4|$\left\{ \begin{array}{rcr} 3 + x – 4 si x – 4 & ≥ & 0 \\ 3 – (x-4) si x – 4 & ≤ & 0 \\ \end{array} \right.$

$lim_{x →4_<} 3 + 4 – 4 = 3\\ lim_{x →4_<} 3 + 4 – 4 = 3\\ D’où\\ lim_{x →a_<} f(x) = lim_{x →a_>} f (x) = f(x)$

Étudiez la continuité de la fonction ci-dessous : $R (x) =\frac{x-2}{x-4} \\ en \\ x = - 4$