Le centre de symétrie.

Rappel

Déterminez l’axe de symétrie de la fonction f définie par :  \(f(x)=x \frac{1}{x^2-x-2}\)

Rappel

\(\frac{1}{(a-x)^2 (a-x)-2}=\frac{1}{(a+x)^2 (a+x)-2}\\ a^2-2ax+x^2-a+x-2=a^2+2ax+x^2-a-x-2\\ -2ax-2ax+2x=0\\ -4ax+2x=0\\ -2x(2a-1)=0\\ -2x=0\\ 2a-1=0 \)

Motivation

Quelle est la formule de l’axe de symétrie ?

Motivation

f(a-x)+f(a+x)=2b  est la formule de l'axe de symétrie.

Que représente f(a-x)+f(a+x)=2b ?

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui, nous allons étudier le centre de symétrie.

Analyse

Quelle est la formule pour déterminer le centre de symétrie?

Analyse

CENTRE DE SYMETRIE D’UNE COURBE

La fonction f admet comme un centre de symétrie :

(1)

NB : si a et b = o, l’équation (1) devient f(x), d’où la fonction f est impaire

• La courbe représentative de la fonction f admet un centre de symétrie de coordonnées C (a,b).

Exemple : déterminez le centre de symétrie de la fonction définie par \(f(x)=\frac{x2}{x+1}\)

\(\frac{(a-2)^2}{(a-x)+1}+\frac{(a-2)^2}{(a-x)+1}=2b\\ \frac{(a^2-2ax+x^2 )}{(a-x+1)}+\frac{(a^2-2ax+x^2 )}{(a-x+1) }=2b\\ \frac{(a-x+1)(a^2-2ax+x^2 )+(a-x+1)(a^2-2ax+x^2 )}{(a^2+ax+a-ax-a^2-x+a+x+1)}=2b\\ \frac{a^3-2ax+ax^2+2ax^2+x^3+2ax+x^2+a^3+2ax+ax^2-a^2 x-2ax^2-x^3+a^2+2ax+x^2}{a^2+2a-x^2+1}\\ 2a^3+2a^2-2ax^2+2x^2=2da^2+4ab-2bx^2+2b\\ (-2a+2) x^2=2bx^2 (1)\\ 2a^3+2a^2=2ba^2+4ab+2b (2)\\ -2a+2=2b (1)\\ 2a^3+2a^2=2ba^2+4ab+2b (2)\\ \)

De (1) trouvons b =?

\(=\frac{2(a-1)}{-2}\)

Déterminez le centre de symétrie de la fonction définie par :

\((3) dans (2) 2a^3+2a^2=2(a-1) a^2+4a(a-1)2(a-1)\\ 2a^3+2a^2=2(a^3+a^3 )+4a^2-4a+2a-2\\ 2a^3+2a^3=2a^2+2a^2+4a^2-4a+2a-2\\ -2a-2=0\\ -2a=2\\ a=\frac{2}{2}\\ \)

\(b=-1-1\)

\(c(a=-I)\)

Déterminez le centre de symétrie de la fonction définie par \(f(x)=x^3-x^3+2\)

\((a-b)^3-3(a-b)+2+(a+x)^3-3(a+x)+2=26\\ a^3-3a^2 x+3x^2-x^3-3a+3x+2+a^3+3a^2 x+3ax^2+x^3+3a-3x+2=2b\\ a^3+6ax^2-6a+4=2b\\ \)

\(\left\{ \begin{array}{rcr} a^3-6a-4& = & 2b (1)\\ 6a=0 & & (2)\\ \end{array} \right.\)

\(0^3-6.0-4=2b\\ 2b=-4\\ b=-\frac{4}{2}\\ [c(0,-2)]\\ [b=-2]\\ \frac{2(a-x)+1}{(a-x)-1}=\frac{2(a+x)+1}{(a-x)-1}=2b\\ \frac{(2a-2x+1)(ax+1)+(2a+2x)(a-x-1)}{(a-x-1)(a-x+1)} =2b\\ 2a^2-2ax+\)