Dérivée de fonction logarithmique et exponentielle

Rappel

Calculer la dérivée de la fonction suivante : \(y=g sec⁡\frac{1}{3} x\)

Rappel

\(y'=(9see \frac{1}{3} x)'=\frac{9.\frac{1}{3}sin\frac{1}{8}x}{cos^2\frac{1}{3}x}\\ \frac{3 sin⁡ \frac{1}{3}}{cos^2 \frac{1}{3}}\)

Motivation

Que représente cette expression :

\(a. (logu_a)'\\ b. (y=e^x )' \)

Motivation

(logu)'= est une dérivée d’une fonction logarithmique

(y=e')'= c’est la dérivée d’une fonction exponentielle.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui, nous allons étudier la dérivée des fonctions logarithmiques et exponentielles.

Analyse

Dérivée De Fonction Logarithmique Et Exponentielle

1. Fonction logarithmique

\(a. (logu_a)'=\frac{u}{ulna} \\et \\ log_a⁡ x=\frac{x}{x(na.)}\\ b. (lnu)'=\frac{u'}{u}\\ c. (lnx)'=\frac{x'}{x}=\frac{1}{x}\\ \)

2. Fonctions exponentielles

\(1. (ax)'=a^x lna \\et\\ (a^u )'=u' a^u lna.\\ 2. (e^x )'=e^x \\et\\ (e^u )'=u'e^u\\ 3. (lnx)'=\frac{x'}{x}=\frac{1}{x}\\ 4. (\frac{u}{v})'= \frac{u' v-uv'}{v^2} \\ et \\ uv=u' v+v'u\\ 5. (u^v )'=(v'^{v2} lnu+\frac{u' v}{u}) u^v\\ 6. (cu)'=o(u)' \)

Exemple :

Calculer la dérivée de a^sinx

\((a^{sin⁡x})'=(sin⁡x )'^{asin⁡x} lna\\ =cos⁡ x a^{sin⁡x} lna.\\ (log_3 2x-4)'=\frac{(2x-4)'}{2x-4ln3}=\frac{2}{2(x-2)ln3}\\ =\frac{1}{(x-2)ln3}\\ (e^{2x})'=(2x)' e^{2x}=2e^{2x}\\ (\frac{a^x}{x})'=\frac{(ax)' x-(x') a^x}{x2}=\frac{a_x^x lna-ax}{x2}\\ =a^{x \frac{[(xlna-1)]}{x2}}\\ (5^x )'=5^x ln5.\)

Déterminer les dérivées de fonctions suivantes :

\(a. [e^x (sin⁡ x+cos⁡x )]\\ b. ln4x+1 \)

\(a. [e^x (sin⁡ x+cos⁡x )]'=(e^x )'.(sin⁡ x+cos⁡x)+(sin⁡ x+cos⁡xj) e^x\\ e^x (sin⁡ x+cos⁡x )+(cos⁡ x-sin⁡x ) e^x\\ e^x (sin⁡ x+xcos xsin x)\\ e^x (2 cos⁡x )\\ =2e^x cos⁡x\\ \)