Autres équations de l'étude d'une hyperbole

a. Rappel

Etablir l'équation de l'hyperbole ?

a. Rappel

$\frac{x^2}{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Quelle est l'équation de l'excentricité d'une hyperbole ?

L'excentricité d'une hyperbole a pour équation e=$\frac{c}{a}$

b. Motivation

Est-ce que nous sommes arrêtés seulement à la formule de l'hyperbole ?

b. Motivation

Nous nous sommes arrêtés  à la formule de l'hyperbole.

Que dirons nous si nous étudions d'autres équations liées à l'hyperbole ?

Nous pouvons dire qu'on a aussi étudié d'autres équations liées à l'hyperbole.

c. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier les autres équations de l'étude d'hyperbole.

Analyse

Que donne sec²∝-tan²∝=?

1. Equation paramétrique de l'hyperbole

On sait que sec²∝-tan²∝=1.

Posons que: $\frac{x}{a}=sec∝ et \frac{y}{b}=tan∝$

Remplaçons seca et tana par leur valeurs de l'équation de l'hyperbole.

Tirons la valeur de x et y dans la condition posée:

Quelles sont les équations paramétriques d'une hyperbole ?

x=a sec ∝ et y=b tan ∝. ce sont les équations  paramétrées.

2. Equation de la normale au point M(x_1,x₁) de l'hyperbole.

Soit une équation de la tangente passant par le point M (x₁,x₁) et définie par :

y-y₁=m(x₁,x₁), m=coefficient angulaire.

posons m=$\frac{-a^2y_1}{b^2x_2}$

Que devient la formule de l'équateur de la normale en remplaçant m par sa valeur ?

l'équation de la tangente devient:

$y-y_1=\frac{-a^2y_1}{b^2x_1}(x-x_1)$qui est une équation de la normale au point M.

3. Les asymptôtes

On donne une fonction du premier degré en x et définie par : b²y²-a²x²=0.

Déterminer la valeur de y dans cette fonction ?

Déterminez la valeur de y

y=$±\frac{\sqrt[]{a^2x^2}}{b^2}=±\frac{ax}{b}$

y=$±\frac{ax}{b}$ ce sont les équations des asymptôtes de l'hyperbole.

4. La distance I FF'I=2c distance focale

5. Longueur de la distance focale (LR)=$\frac{2b}{a}$

Etablir les équations liées à l'étude d'une hyperbole:

a. En cas des équations paramétriques, les asymptotes, équation de la normale au point M(x_1,y₁)?

Equation paramétrique : x=a sec∝ y=b tan ∝

Equations des asymptôtes : y=±$\frac{a}{b}x$

Equation de la normale au point M:

y-y₁=$\frac{-a^2y_1}{b^2x_1}(x-x_1)$

LR=$\frac{2b^2}{a}$

Etablir les équations de la normale en un P(x_o,y_o) et des asymptôtes ?

y-y_o=$±\frac{-a^2y_o}{b^2x_o}(x-x_o)$

y=$±\frac{a}{b}x$

Etablir les équations de la normale passant par le point B(x₂,y₂) ?