Exercices récapitulatifs sur l’ensemble C

Rappel

Que faut-il faire pour déterminer la puissance des i ?

Rappel

On applique la forme $i^n= i^{4k+n}$

Quelles sont les parties qui forment un nombre complexe ?

Un nombre complexe est formé par la partie réelle et la partie imaginaire.

Déterminez la formule d’un module de nombre complexe ?

$|Z| = \sqrt[]{a^2+b^2}$

Que faut-il faire pour déterminer la forme trigonométrique d’un nombre  complexe ?

Il faut calculer d’abord le module le cos θ et le sin θ. Après on calcule l’argument θ.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier (résoudre ) les exercices récapitulatifs sur l’ensemble de nombre complexe.

1. Calculez :

$a. i^{543126}$

$b. -5i^{129}+4^{99}-6i^{1111}+47i^{20031}$

Exercices récapitulatifs sur l’ensemble C de nombre complexe

$a. i^{543126}=-1$

$b. -5^{129}+4i^{99}-6i^{1111}+47i^{20031}\\ =5i^{4.32+1}+4^{4.24+3}-6i^{4.277+3}+47i^{4.5007+3}\\ = 5i-4i+6i-47i =11i-51i = -41i$

2. Déterminez les nombres réels r et s de manière qu’on ait : (r+3i)(3-si) = 25i

(3r+9i-rsi-3s) = 25i

(3r-3s)+(9-rs)i = 25i

3r-3s = 0 et  9-rs = 25

   R = -s    et  9-(-s).s = 25

                      9+s² = 25

                           S²= 25-9

                           S²= 16

$S= ±\sqrt[]{16}$

S = ±4

                   r= -4  et  r = 4

3. soit u = x+yi un nombre complexe Déterminez les couples des réels (x,y) pour le(s) que(s) le nombre complexe Z n’est pas défini.

$Z= \frac{1+3i}{(u-1)(2-u)}$

$Z= \frac{1+3i}{(u-1)(2-u)}\\ u-1 = 0 <=> x+yi-1=0\\ <=> x-1=0\\ X = 1 et y = 0\\ Ou \\ 2 – u = 0\\ 2 –x-yi = 0\\ X= 2 \\ et\\ y =0$

Les couples cherchés sont (1,0) et (2,0).

4. A quelle condition le carré de Z= a+bi est-il un imaginaire pur ?

Z = a + bi

Z² =a²+2abi-b²

Z²= a²-b²+2abi

X est imaginaire pur $<=>a^2-b^2=0\\ |a| = |b|$

1. soit u = x+yi un nombre complexe. Trouvez en fonction de x et y les parties réelles et imaginaires de Z.

Z = (5+3i) u

Posons Z = x + yi

|Z-2|= 1

$<=> |x-2+yi|=1\\ <=> \sqrt[]{(x-2)^2+y²}=1\\ <=> (\sqrt[]{(x-2)^2+y^2 )}² = 1²\\ <=> (x-2)²+y² = 1\\ <=>x^2-4x+4+y^2-1=0\\ <=>x^2+y^2+4x-3=0$

2. Déterminez l’ensemble A des nombres complexes Z tels que :

a. |Z-2| = 1

b. |iZ+2| = |-3i|

Déterminez la forme algébrique de Z :

$(\sqrt[]{x}+i\sqrt[]{3})^2.(\sqrt[]{x}+i\sqrt[]{y})^2+2xyi$