Propriétés des logarithmes

Rappel

calculez :

$log_{49} ⁡343$

$log_{25} ⁡5$

Rappel

$log_{49} ⁡343=x<=> 49^{ux}=343 \\ <=> 7^{2x}=7^3\\ x=3/2$

$log_{25} ⁡5= <=> 25^x=5 \\ <=> 5^{2x}=5\\ <=> 2x=1\\ x=1/2$

Motivation

Que représente $log\frac{x}{y}=?$

Motivation

$log\frac{x}{y}$   représente une des propriétés des logarithmes.

Que donne log_axyz ? de quoi s’agit-il en logarithme ?

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier les propriétés des logarithmes.

Que donne la propriété log_a(x.y.z)?

Propriétés des logarithmes

$P1 : log_a⁡ xx.y.z=log_a ⁡x+log_a ⁡y+log_a ⁡a$

Exemple :

$log_2⁡ (8.64.32)=log_2 ⁡8+log_2 ⁡64+log_2 ⁡32\\ = 3+6+15 = 14$

Appuyez par un exemple ?

$P2 : log_a⁡ x^n= n log_a ⁡x Exemple : log_3⁡ 81^{12}=12 log_3 ⁡81=12.4=48$

Déterminez la propriété $log_a⁡ \sqrt[n]{x} ?$

$P3 : log_a⁡\sqrt[a]{x} =log_a⁡ \frac{1}{x^n}=\frac{1}{6} log_5 ⁡125=\frac{1}{6}.3=\frac{1}{2}$

Qu’un élève résous cet exemple ?

$P4 : log_a⁡ \frac{x}{y}= log_a ⁡x-log_a⁡ y\\ Exemple : log_4⁡ \frac{256}{4} =log_4⁡ 256-log_4 ⁡4\\ = 4-1 = 3\\ P5 : log_a ⁡a=1;log_a⁡ 1=0, log_a⁡ a^n=n$

Qu’appelle-t-on le cologarithme d’un nombre N ?

NB :

On appelle cologarithme d’un nombre N, l’opposé du logarithme de N. on note

$colog_a⁡ N=-log_a⁡ N$

Conséquences :

$1. log_{a^n}⁡x^m= log_a ⁡x \\ 2. log_{a^n}⁡ x^m=\frac{m}{n} log_a ⁡x\\ 3. log_{a^n} ⁡x=\frac{1}{n} log_a⁡ x \\ 4. log_a ⁡x=\frac{log_a⁡ x}{log_a⁡ a} \\ 5. a^{log_a ⁡x} =x\\ Exemple : 5^{log_5⁡ 625} =5^4=625$

calculez :

$log_3⁡ (5+\sqrt[]{20})^2-2 log_3⁡ 4 +log_3⁡ (5-\sqrt[]{20})$

$log_5⁡ \frac{1}{5}-log_5⁡ 5+log_5⁡ 15$

$log_3⁡ (5+\sqrt[]{(20)}) (5-\sqrt[]{20})-log_3⁡ 4^2\\ log_3⁡ \frac{(5+\sqrt[]{(20)}(5-\sqrt[]{20})}{4^2}\\ log_3⁡ \frac{25-20}{16}$

$log_3⁡\frac{5}{16}\\ log_5⁡ \frac{1}{5}+ log_5 ⁡15-log_5 ⁡3=log_5⁡ (\frac{1}{5}). log_5 ⁡3\\ = log_5 ⁡3-log_5⁡ 3\\ = log_5⁡ \frac{3}{3}=log_5 ⁡1=0$

Calculez : $log⁡ (17-\sqrt[]{19}+log⁡ (17+\sqrt[]{19})-3log⁡3+log ⁡0,1.$