Racine dans C

Comment peut-on trouver la racine carrée dans C?

Racine carrée dans C

Soit un nombre complexe Z= a+bi, trouvons la racine carrée de ce nombre complexe ayant la forme x +yi

$(a+bi)=(x+yi)² \\ a+bi=x^2+2xyi-y²$

$\left\{ \begin{array}{rcr} a=x^2-y^2 =>a^2 & = & (x^2-y^2 )^2 (1) \\ b=2xy => b^2 & = & (2xy)^2 (2) \\ \end{array} \right.$

Additionnons membre par membre :

$a^2+b^2=(x^2-y^2 )^2+(2xy)² \\ a^2+b^2=x^x-2x²y²+y^4+4x²y²\\ a^2+b^2=x^4+2x^2 y^2+y^4 \\ a^2+b^2=(x^2+y^2)² \\ (x^2+y^2 )^2=a^2+b² \\ x^2+y^2=√(a^2+b²) (3)$

Formons un système d’équation à partir de l’équation (1)  et  (3)

$a^2=(x^2-y^2 )^2$                 $x^2-y^2=\sqrt[]{a²}$

$\sqrt[]{a^2+b²}=x^2+y^2=>x^2+y^2= \sqrt[]{a^2+y²}\\ =>x^2-y^2=a\\ x^2+y^2=\sqrt[]{a^2+b²}\\ -x^2+y^2=-a\\ x^2+y^2=\sqrt[]{a^2+b²}\\ 2y^2=-a+\sqrt[]{a^2+b²}\\ y=±\sqrt[]{\frac{-a+\sqrt[]{a^2+b²}}{2}}\\ x^2-y^2=a\\ x^2+y^2=\sqrt[]{a^2+b²}\\ 2x^2=a+\sqrt[]{a^2+b²}\\ x^2=\frac{a+\sqrt[]{a^2+b²}}{2}\\ x=±\sqrt[]{\frac{a+\sqrt[]{a^2+b²}}{2}}$

Exemples

Calculez les racines carrées des complexes suivants :

Z= 3+ui

calculez les racines carrées de Z= 8-6i