Limite des fonctions trigonométriques

Rappel

Calculez \(lim_2 (\frac{3}{x-2}) . (\frac{x^2-4}{5})\)

Rappel

\(lim_2 \frac{3}{2-2} .\frac{2^2-4}{5} = \frac{3}{0} . \frac{4-4}{5} = ∞.0 F.I\\ lim_2 \frac{3x^2-12}{5x-10} = lim_2 \frac{3.2^2-12}{5.2-10} = \frac{0}{0} F.I\)

Motivation

Quelles sont les différentes fonctions formées par l’axe des x et des y ?

Motivation

Les différentes fonctions formées par les axes x et y sont : sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante et cosécante.

Soit à calculer \(lim_{π/2} \frac{Cos3x}{Cosx} ,\)

De quelle limite s’agit-il?

Il s’agit de la limite des fonctions trigonométriques.

Annonce du sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui ?

Annonce du sujet

Nous allons étudier aujourd'hui la Limite des fonctions trigonométriques. 

Que donne la limite\(lim_{x →a} sinx ? \)

Limites des fonctions trigonométriques.

Soit un angle qui évolue en radian.

Démontrez que \(lim_a tg(x) \)  = tga ?

\(1. lim_a sinx = sina\\ 2. lim_a cosx = cosa\\ 3. lim_a tgx = tga si. a .est .différent de \frac{π}{2} + K? ; K ∈ π\\ 4. lim_a cotx = cotga si. a .est .différent K? ; K ∈ π\\ 5. lim_a secx = seca si .a .est .différent \frac{π}{2} K? ; K ∈ π\\ 6. lim_a cosecx = coseca si. a .est. différent K? ; K ∈ π \)

Que donne  \(lim_{x →a} \frac{x}{sinx} ?\)

Les limites particulières

\(1. lim_0 \frac{x}{sinx} = 1\\ 2. lim_0 \frac{x}{tanx} = 1\)

Que donne \(lim_0 \frac{q (x)}{sin⁡ p(x)} \)

\(3. lim_0 \frac{sin⁡p(x)}{q (x)} = 1\\ 4. lim_0 \frac{q (x)}{sin⁡ p(x)} = \frac{p}{q}\\ 5. lim_0 \frac{tgx}{x} = 1\\ 6. lim_0 \frac{sin⁡p(x)}{sin⁡q(x)} = \frac{p}{q}\\ 7. lim_0 \frac{tan⁡ p(x)}{q (x)} = \frac{p}{q} \)

Calculez  \(a. lim_{π/6} (sinx + cosx) \\ b. lim_{π/3} (cox+6 sin⁡ 6x)\\ c. lim_0 \frac{sin⁡3x}{sin⁡2x}\\ d. lim_{π/6} \frac{sin⁡x}{cos⁡2x} \)

\(lim_{π/6} (sin \frac{π}{6} + cos\frac{π}{6} ) = lim_{π/6} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2} = \frac{1+\sqrt[]{3}}{2}\\ lim_{π/3} (cos \frac{π}{3} + 6.sin 6.\frac{π}{3} ) = (cos \frac{π}{3} + 6.sin 2π )\\ = (\frac{1}{2} + 6.0) = \frac{1}{2}\\ lim_0 \frac{sin⁡3x}{sin⁡2x} = \frac{3}{2}\\ lim_{π/6} \frac{sin⁡ π/6}{cos2π/6} = lim_{π/6} \frac{sin⁡π/8}{cosπ/3} \)

Calculez : \(lim_{π/6} \frac{cos^2 x}{1-sinx}\)