Exercices sur les compositions des fonctions

Rappel

Quant entendez-vous par la composition d’une fonction ?

Rappel

La fonction f(x) = gof(x) est une fonction composée de la variable x.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui, nous allons étudier les exercices sur la composition des fonctions.

Analyse 

1. On définit la fonction f par \(f(x)=\frac{7-x^2}{3x}\)  et on f-1 sa réciproque ∫^-1(0)=\(1.0 2.\frac{2}{7}. 3.\frac{5}{3}.4.\frac{-5}{3}5.\frac{7}{2}\)

\(y=\frac{7-2x}{3x}⟹3xy=7-2x⟹x(3y+2)⟹3xy+2x=7 \\ x=_frac{7}{3y+2}\\ y=\frac{7}{3x+2}\\ f(0)=\frac{7}{30x2}=\frac{-7}{2}\)

2. On définit la fonction f et g par \(f(x)=3x+1 \)  et \(g(x)=\frac{1}{7x+1}\)

\(gof(-1)=1. \frac{5}{7} 2.\frac{5}{7}\\ 3.\frac{1}{3} 4.\frac{-1}{13} 5.3\)

3. On défit la fonction f et g définie par  \(f(x)=\frac{6}{\sqrt[]{x(x+4)}\)  et   \(g(x)=\frac{x^2}{x^2-1}\\ (gof) (4)=1.\frac{9}{2} 2.\frac{2}{9} 3.\frac{1}{2} 4.9\)

\(g[f(x)]=\frac{1}{7(3x(1))+1}=\frac{1}{21x+8}\\ gof(-1)=1/(2x+8)=1/(-21+8)=\)

\(gof(x)=\frac{(\frac{6}{\sqrt[]{xcx+4}})^2}{\frac{6}{(\sqrt[]{xcx+4})^2-1}}=\frac{\frac{36}{x^2+4x}}{\frac{36}{x^2+4x}}\\ =\frac{36}{36-x^2-4x}\\ of(4)=\frac{36}{36-(4)^2-4.4}=\frac{36}{36-32}=\frac{36}{4}=9.\)

On donne les fonctions \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\)  et  \(g(x)=x+1\)   \(gof^{-1} (2)=1.5 2.∞ 3.\frac{1}{2} 4.2 5.3\)

\(gof(x)= \frac{x+2}{x-1}+1=\frac{x+2+x-1}{x-1}=\frac{2x-1}{x-1}\\ y=\frac{2x-1}{x-1}\\ yx-y=2x+1\\ yx-2x=1+y\\ x(1-2)=1+y\\ x \frac{1+y}{y-2}\\ x=\frac{1+x}{x-2}\\ gof^{-1} (2)=\frac{1+2}{2-2}=\frac{3}{0} ∞ \)

Soient \(g(x)=\frac{2x+5}{5}\)  et \(h(x)=5x+3\)

calculer  \(goh(2)= ?\)

\(goh(x)=\frac{2(5x+3)+5}{3}=\frac{10x^3+6+5}{3}\\ goh(x)=\frac{10x^3+11}{3}\\ goh(2)=\frac{10.2^3+11}{3}=\frac{10^3+11}{3}=\frac{31}{3}\)