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Asymptote
Domaine Science Sous domaine Mathématiques
Section Scientifique Option Biologie Chimie
Discipline Mathématique Classe 6ème
Matériel didactique Exemples Auteur SCHOOLAP.COM
Objectif opérationnel Au terme de la leçon, l’élève sera capable de déterminer l’équation de l’asymptote à l’aide de la dérivée première en 5 minutes.
Réference Etudes d’une fonction 3èd. J.N. MAKIADI pp.67-
Activité initiale

Rappel

Déterminez l’équation de l’A.V à la courbe représentative de la fonction suivante :

\(f(x) = \frac{x-3}{x-2}\)

Rappel

x-2 = 0

x = 2 d’où x = 2 est l’équation de l’A.V.

Motivation

Quelle est l’équation de  l’asymptote verticale ?

Motivation

L’asymptote verticale a comme équation x = a.

Comment appelle- t- on l’asymptote dont la droite n'est ni horizontale ni verticale ? 

L’asymptote où la droite n'est ni horizontale ni verticale s’appelle : L'asymptote oblique.

Annonce du sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui ?

Annonce du sujet

Aujourd'hui, nous allons étudier l’asymptote oblique.

Activité principale

Analyse

Quand est-ce que la droite d’équation y = ax + b = admet une asymptote oblique ?

Analyse

ASYMPTOTE OBLIQUE

La droite d’équation y = ax + b est une  asymptote oblique  à la courbe représentative de la fonction f si et seulement si :

\(lim_{x →±∞} f(x) = - (ax + b) = 0\)

 

Comment peut-on trouver a et P ?

 

a est dite la direction asymptotique

Exemple : Déterminez l’équation de l’asymptote oblique de la courbe représentative suivante

Résolvez cette équation.

Quelle est l’équation de l’asymptote obtenue ?

y = 3x + 3  est l’équation de l’asymptote oblique.

Synthèse

Déterminez les équations de l’asymptote oblique des courbes représentatives suivantes :

\(a’ = lim_{x →±∞} \sqrt[]{\frac{9x^2+5}{x}} = lim_{x →±∞} \frac{3x}{x} = 3\\ \)

si a = 3

\(P = lim_{x →±∞} \sqrt{9x^2+5} - 3x = lim_{x →±∞} \sqrt[]{9(+∞)^2 } - 3+∞= +∞ - ∞ F.I\\ lim_{x →±∞} \frac{(\sqrt[]{9x^2+5}) -3) (\sqrt[]{9x^2+5}+3x)}{\sqrt[]{9x^2+5} +3x}\\ lim_{x →±∞} \frac{9x^2+5-9x^2}{\sqrt[]{9x^2+5 +3x}} = lim_{x →±∞} \frac{5}{(\sqrt[]{9x^2 +3x}}\\ lim_{x →±∞} \frac{5}{3x+3x} = lim_{x →±∞} = \frac{5}{6x}=0\)

Déterminez l’équation de l’asymptote oblique de la courbe représentative suivante :

\(y = 3x + \sqrt[]{9x^2-16}\)

y = 3x et y = - 3x